Cómo resolver ecuaciones logarítmicas

Contenido

• etapas
• Preliminar: sepa cómo transformar una ecuación logarítmica en una ecuación con potencias
• Método 1 de 3: Encuentra x
• Método 2 de 3: Encuentra x utilizando la regla del producto logaritmo
• Método 3 de 3: Encuentra x usando t la regla del cociente logaritmo

Las ecuaciones logarítmicas no son, a primera vista, las más fáciles de resolver en matemáticas, pero pueden transformarse en ecuaciones con exponentes (notación exponencial). Por lo tanto, si logra hacer esta transformación y domina el cálculo con las potencias, debería resolver fácilmente este tipo de ecuaciones. NB: el término "log" se utilizará de vez en cuando en lugar de "logaritmo", son intercambiables.

etapas

Preliminar: sepa cómo transformar una ecuación logarítmica en una ecuación con potencias

1. 
   

   
   Comencemos con la definición de logaritmo. Si está buscando calcular logaritmos, sepa que no son más que una forma especial de expresar poderes. Comencemos con una de las condiciones clásicas del logaritmo:
   • y = log_b (X)
     • si y solo si: b = x
   • b es la base del logaritmo. Se deben cumplir dos condiciones:
     • b> 0 (b debe ser estrictamente positivo)
     • b no debe ser igual a 1
   • En notación exponencial (segunda ecuación anterior), hay es el poder y x es la llamada expresión exponencial, de hecho, el valor de cuál busca el registro.

2. 
   

   
   
   
   Observa la ecuación de cerca. Ante una ecuación logarítmica, debemos identificar la base (b), la potencia (y) y la expresión exponencial (x).
   • ejemplo : 5 = log₄(1024)
     • b = 4
     • y = 5
     • x = 1024

3. 
   

   
   Coloque la expresión exponencial a un lado de la ecuación. Coloque, por ejemplo, su valor x a la izquierda del signo "=".
   • ejemplo : 1024 = ?

4. 
   

   
   Eleve la base a la potencia indicada. El valor asignado a la base de datos (b) debe multiplicarse por sí mismo tantas veces como lo indique la potencia (hay).
   • ejemplo : 4 x 4 x 4 x 4 x 4 =?
     • En resumen, esto da: 4

5. 
   

   
   
   
   Escribe tu respuesta. Ahora puede reescribir el logaritmo en notación exponencial. Asegúrese de que su igualdad sea correcta rehaciendo el cálculo.
   • ejemplo : 4 = 1024

Método 1 de 3: Encuentra x

1. 
   

   
   Aislar el logaritmo. El objetivo es de hecho desolar en una primera vez el registro. Para esto, pasamos todos los miembros no logarítmicos del otro lado de la ecuación. ¡No olvide revertir los signos operativos!
   • ejemplo : log₃(x + 5) + 6 = 10
     • registro₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
     • registro₃(x + 5) = 4

2. 
   

   
   Escribe la ecuación en forma exponencial. Para poder encontrar "x", deberá pasar de la notación logarítmica a la notación exponencial, siendo esta última más fácil de resolver.
   • ejemplo : log₃(x + 5) = 4
     • A partir de la ecuación teórica. y = log_b (X)], aplíquelo a nuestro ejemplo: y = 4; b = 3; x = x + 5
     • Escribe la ecuación como: b = x
     • Obtenemos aquí: 3 = x + 5

3. 
   

   
   encontrar x. Ahora se enfrenta a una ecuación de primer grado, que es fácil de resolver. Podría ser de segundo o tercer grado.
   • ejemplo : 3 = x + 5
     • (3) (3) (3) (3) = x + 5
     • 81 = x + 5
     • 81 - 5 = x + 5 - 5
     • 76 = x

4. 
   

   
   Ingrese su respuesta definitiva. El valor que encontró para "x" es la respuesta a su ecuación logarítmica: log₃(x + 5) = 4.
   • ejemplo : x = 76

Método 2 de 3: Encuentra x utilizando la regla del producto logaritmo

1. 
   

   
   Debe conocer la regla sobre el producto (multiplicación) de los registros. Según la primera propiedad de los registros, lo que concierne al producto de los registros (¡de la misma sentencia base!), El registro de un producto es igual a la suma de los registros de los elementos del producto. Ilustración:
   • registro_b(m x n) = log_b(m) + log_b(N)
   • Se deben cumplir dos condiciones:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Aislar los registros en un lado de la ecuación. El objetivo es de hecho desolar al principio los registros. Para esto, pasamos todos los miembros no logarítmicos del otro lado de la ecuación. ¡No olvide revertir los signos operativos!
   • ejemplo : log₄(x + 6) = 2 - log₄(X)
     • registro₄(x + 6) + log₄(x) = 2 - log₄(x) + log₄(X)
     • registro₄(x + 6) + log₄(x) = 2

3. 
   

   
   Aplicar la regla sobre el producto de los registros. Aquí, lo aplicaremos en la dirección opuesta, es decir, que la suma de los registros es igual al registro del producto. Lo que nos da:
   • ejemplo : log₄(x + 6) + log₄(x) = 2
     • registro₄ = 2
     • registro₄(x + 6x) = 2

4. 
   

   
   Reescribe la ecuación con potencias. Recuerde que una ecuación logarítmica se puede transformar en una ecuación con exponentes. Como antes, pasaremos a la notación exponencial para ayudar a resolver el problema.
   • ejemplo : log₄(x + 6x) = 2
     • A partir de la ecuación teórica, apliquémosla a nuestro ejemplo: y = 2; b = 4; x = x + 6x
     • Escribe la ecuación como: b = x
     • 4 = x + 6x

5. 
   

   
   encontrar x. Ahora se enfrenta a una ecuación de segundo grado, que es fácil de resolver.
   • ejemplo : 4 = x + 6x
     • (4) (4) = x + 6x
     • 16 = x + 6x
     • 16-16 = x + 6x - 16
     • 0 = x + 6x - 16
     • 0 = (x - 2) (x + 8)
     • x = 2; x = -8

6. 
   

   
   Escribe tu respuesta. A menudo, tenemos dos respuestas (raíces). Debe verificarse en la ecuación de inicio si estos dos valores son adecuados. De hecho, ¡no podemos calcular el registro de un número negativo! Ingrese la única respuesta válida.
   • ejemplo : x = 2
   • Nunca lo recordaremos lo suficiente: el registro de un número negativo no existe, por lo que puede, aquí, descartar - 8 como solución Si tomamos -8 como respuesta, en la ecuación básica, tendríamos: log₄(-8 + 6) = 2 - log₄(-8), es decir, log₄(-2) = 2 - log₄(-8). ¡No se puede calcular el registro de un valor negativo!

Método 3 de 3: Encuentra x usando t la regla del cociente logaritmo

1. 
   

   
   Debe conocer la regla que se refiere a la división de registros. De acuerdo con la segunda propiedad de los registros, lo que concierne a la división de los registros (de la misma sentencia base), el registro de un cociente es igual a la diferencia del registro del numerador y el registro del denominador. Ilustración:
   • registro_b(m / n) = log_b(m) - registro_b(N)
   • Se deben cumplir dos condiciones:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Aislar los registros en un lado de la ecuación. El objetivo es de hecho desolar al principio los registros. Para esto, pasamos todos los miembros no logarítmicos del otro lado de la ecuación. ¡No olvide revertir los signos operativos!
   • ejemplo : log₃(x + 6) = 2 + log₃(x - 2)
     • registro₃(x + 6) - registro₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - registro₃(x - 2)
     • registro₃(x + 6) - registro₃(x - 2) = 2

3. 
   

   
   Aplicar la regla del cociente log. Aquí, lo aplicaremos en la dirección opuesta, es decir, que la diferencia de los registros es igual al registro del cociente. Lo que nos da:
   • ejemplo : log₃(x + 6) - registro₃(x - 2) = 2
     • registro₃ = 2

4. 
   

   
   Reescribe la ecuación con potencias. Recuerde que una ecuación logarítmica se puede transformar en una ecuación con exponentes. Como antes, pasaremos a la notación exponencial para ayudar a resolver el problema.
   • ejemplo : log₃ = 2
     • A partir de la ecuación teórica, apliquémosla a nuestro ejemplo: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
     • Escribe la ecuación como: b = x
     • 3 = (x + 6) / (x - 2)

5. 
   

   
   encontrar x. Ahora que no hay más registros, sino poderes, deberías encontrar fácilmente x.
   • ejemplo : 3 = (x + 6) / (x - 2)
     • (3) (3) = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 (x - 2) = (x - 2) y mdash; multiplicamos ambos lados por (x - 2)
     • 9x - 18 = x + 6
     • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
     • 8x = 24
     • 8x / 8 = 24/8
     • x = 3

6. 
   

   
   Ingrese su respuesta definitiva. Retira tus cálculos y realiza una comprobación. Cuando esté seguro de su respuesta, escríbala definitivamente.
   • ejemplo : x = 3